L'intégration des fonctions est l'une des principales applications du calcul. Parfois, c'est simple, comme dans:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

Dans un exemple relativement compliqué de ce type, vous pouvez utiliser un version de la formule de base pour l'intégration des intégrales indéfinies:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

où A et C sont des constantes.

Ainsi pour cet exemple,

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Intégration des fonctions de base de la racine carrée}

En surface, l'intégration d'une fonction de racine carrée est délicate. Par exemple, vous pouvez être bloqué par:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Mais vous pouvez exprimer une racine carrée comme un exposant, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

L'intégrale devient donc :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

auquel vous pouvez appliquer la formule habituelle ci-dessus:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x
Intégration de fonctions racine carrée plus complexes}

Parfois, vous pouvez avoir plus d'un terme sous le signe radical, comme dans cet exemple:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

Vous pouvez utiliser la substitution u pour continuer. Ici, vous définissez u égal à la quantité dans le dénominateur:

u \u003d √ (x - 3)

Résolvez ceci pour x en mettant au carré des deux côtés et en soustrayant:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Cela vous permet d'obtenir dx en termes de u en prenant la dérivée de x:

dx \u003d (2u) du

La substitution dans l'intégrale d'origine donne

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] du}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) du}

Vous pouvez maintenant intégrer ce en utilisant la formule de base et en exprimant u en termes de x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}