Voici une ventilation de son origine:
1. Équation du mouvement brownien et de Langevin:
* La fondation réside dans l'observation du mouvement brownien, le mouvement apparemment aléatoire des particules en suspension dans un liquide.
* Albert Einstein et Marian Smoluchowski a expliqué ce mouvement en utilisant la mécanique statistique, démontrant qu'elle est causée par le bombardement continu des particules par les molécules du fluide environnant.
* Paul Langevin a formulé plus tard une équation différentielle (équation de Langevin) pour modéliser le mouvement d'une particule soumise à la fois à une force déterministe (par exemple, frottement) et à une force aléatoire.
2. Connexion Langevin à la probabilité:
* L'équation de Langevin décrit la trajectoire d'une seule particule. Pour comprendre le comportement collectif de nombreuses particules, nous devons travailler avec des distributions de probabilité.
* Andrey Kolmogorov et adriaan fokker a développé indépendamment l'équation de Fokker-Planck en appliquant une approche probabiliste à l'équation de Langevin.
3. Dérivation:
* Ils ont utilisé l'idée d'une équation de diffusion , qui décrit la propagation d'une substance due au mouvement aléatoire.
* En considérant les termes de dérive et de diffusion dans l'équation de Langevin, ils ont dérivé une équation différentielle partielle qui régit l'évolution du temps de la fonction de densité de probabilité.
4. Contributions clés:
* fokker axé sur la dérivation de l'équation d'un modèle physique spécifique, tandis que planck a travaillé sur son cadre mathématique.
* kolmogorov Généralisé plus tard, l'équation pour décrire une classe plus large de processus stochastiques, conduisant au nom de l'équation avant Kolmogorov.
Essentiellement, l'équation Fokker-Planck comble l'écart entre la description déterministe du mouvement individuel des particules (équation de Langevin) et la description probabiliste du comportement collectif de nombreuses particules (fonction de densité de probabilité).
Applications:
L'équation de Fokker-Planck a trouvé des applications répandues dans divers domaines, notamment:
* physique: Mouvement brownien, processus de diffusion, physique du plasma
* chimie: Cinétique chimique, systèmes de diffusion de réaction
* biologie: Dynamique de la population, expression des gènes
* Finance: Modèles de tarification des options, tarification des actifs
Il s'agit d'un outil puissant pour comprendre et prédire le comportement des systèmes soumis à des fluctuations aléatoires.
