L'équation de Schrodinger est l'équation la plus fondamentale en mécanique quantique, et apprendre à l'utiliser et ce qu'elle signifie est essentiel pour tout physicien en herbe. L'équation porte le nom d'Erwin Schrödinger, qui a remporté le prix Nobel avec Paul Dirac en 1933 pour leurs contributions à la physique quantique.

L'équation de Schrodinger décrit la fonction d'onde d'un système mécanique quantique, qui fournit des informations probabilistes sur la l'emplacement d'une particule et d'autres quantités observables telles que son élan. La chose la plus importante que vous réaliserez à propos de la mécanique quantique après avoir appris l'équation est que les lois dans le domaine quantique sont très différentes de celles de la mécanique classique.
La fonction d'onde

La fonction d'onde est une des concepts les plus importants de la mécanique quantique, car chaque particule est représentée par une fonction d'onde. Il est généralement donné la lettre grecque psi ( Ψ
), et cela dépend de la position et du temps. Lorsque vous avez une expression pour la fonction d'onde d'une particule, elle vous dit tout ce qui peut être connu sur le système physique, et différentes valeurs pour les quantités observables peuvent être obtenues en lui appliquant un opérateur.

Le carré du module de la fonction d'onde vous indique la probabilité de trouver la particule à une position x
à un instant donné t
. Ce n'est le cas que si la fonction est «normalisée», ce qui signifie que la somme du module carré sur tous les emplacements possibles doit être égale à 1, c'est-à-dire que la particule est certaine
à localiser quelque part
.

Notez que la fonction d'onde ne fournit que des informations probabilistes et que vous ne pouvez donc pas prédire le résultat d'une observation, bien que vous puissiez
déterminer la moyenne sur de nombreuses mesures.

Vous pouvez utiliser la fonction d'onde pour calculer la "valeur d'attente" pour la position de la particule au temps t
, la valeur d'attente étant la valeur moyenne de x
you obtiendrait si vous répétiez la mesure plusieurs fois.

Encore une fois, cela ne vous dit rien sur une mesure particulière. En fait, la fonction d'onde est plus une distribution de probabilité pour une seule particule que tout ce qui est concret et fiable. En utilisant l'opérateur approprié, vous pouvez également obtenir des valeurs d'espérance de quantité de mouvement, d'énergie et d'autres quantités observables.
L'équation de Schrodinger

L'équation de Schrodinger est une équation différentielle partielle linéaire qui décrit l'évolution d'un état quantique dans une manière similaire aux lois de Newton (la deuxième loi en particulier) en mécanique classique.

Cependant, l'équation de Schrodinger est une équation d'onde pour la fonction d'onde de la particule en question, et donc l'utilisation de l'équation pour prédire l'état futur d'un système est parfois appelé «mécanique des vagues». L'équation elle-même dérive de la conservation de l'énergie et est construite autour d'un opérateur appelé l'hamiltonien.

La forme la plus simple de l'équation de Schrodinger à écrire est:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Où ℏ est la constante de Planck réduite (c'est-à-dire la constante divisée par 2π) et H
est l'opérateur hamiltonien , ce qui correspond à la somme du poten l'énergie tielle et l'énergie cinétique (énergie totale) du système quantique. Le hamiltonien est lui-même une expression assez longue, donc l'équation complète peut s'écrire:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Notant que parfois (pour des problèmes explicitement tridimensionnels), la première dérivée partielle est écrite comme l'opérateur laplacien ∇ ^{2 . Essentiellement, le hamiltonien agit sur la fonction d'onde pour décrire son évolution dans l'espace et le temps. Mais dans la version indépendante du temps de l'équation (c'est-à-dire lorsque le système ne dépend pas de t
), l'hamiltonien donne l'énergie du système.}

Résoudre l'équation de Schrodinger signifie trouver la fonction d'onde mécanique quantique qui la satisfait pour une situation particulière.
L'équation de Schrodinger dépendante du temps

L'équation de Schrodinger dépendante du temps est la version de la section précédente, et elle décrit l'évolution de l'onde fonction pour une particule dans le temps et l'espace. Un cas simple à considérer est une particule libre car l'énergie potentielle V
\u003d 0, et la solution prend la forme d'une onde plane. Ces solutions ont la forme:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Où k
\u003d 2π / λ,
λ
est la longueur d'onde , et ω
\u003d E
/ℏ.

Pour d'autres situations, la partie énergie potentielle de l'équation originale décrit les conditions aux limites pour la partie spatiale de la fonction d'onde, et elle est souvent séparée en une fonction d'évolution temporelle et une équation indépendante du temps.
L'équation de Schrodinger indépendante du temps

Pour les situations statiques ou les solutions qui forment des ondes stationnaires (comme le puits potentiel, " particules dans une boîte "), vous pouvez séparer la fonction d'onde en parties de temps et d'espace:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

Lorsque vous parcourez cela en entier, la partie temporelle peut être annulée, laissant une forme de l'équation de Schrodinger qui seulement
dépend de la position de la particule. La fonction d'onde indépendante du temps est alors donnée par:
H Ψ (x) \u003d E Ψ (x)

Ici E
est l'énergie du système mécanique quantique, et H
est l'opérateur hamiltonien. Cette forme de l'équation prend la forme exacte d'une équation de valeur propre, la fonction d'onde étant la fonction propre et l'énergie étant la valeur propre lorsque l'opérateur hamiltonien lui est appliqué. En développant le hamiltonien sous une forme plus explicite, il peut être écrit en entier comme:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

La partie temps de l'équation est contenue dans la fonction:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Solutions indépendantes du temps Équation de Schrodinger

L'équation de Schrodinger indépendante du temps se prête bien à des solutions assez simples car elle réduit la forme complète de l'équation. Un exemple parfait de ceci est le groupe de solutions «particule dans une boîte» où la particule est supposée être dans un potentiel carré infini bien dans une dimension, donc il y a un potentiel nul (c'est-à-dire V
\u003d 0) partout, et il n'y a aucune chance que la particule soit trouvée à l'extérieur du puits.

Il y a aussi un puits carré fini, où le potentiel aux "murs" du puits n'est pas infini et même s'il est supérieur à l'énergie de la particule, il y a une certaine
possibilité de trouver la particule à l'extérieur grâce à l'effet tunnel quantique. Pour le puits infini potentiel, les solutions prennent la forme:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Où L
est la longueur du puits.

Un potentiel de fonction delta est un concept très similaire au puits potentiel, sauf avec la largeur L
allant à zéro (c'est-à-dire infinitésimal autour d'un seul point) et la profondeur du puits allant à l'infini, tandis que le produit des deux ( U
_{0) reste constant. Dans cette situation très idéalisée, il n'y a qu'un seul état lié, donné par:
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}}

Avec l'énergie:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Solution d'hydrogène atomique à l'équation de Schrodinger

Enfin, la solution atomique d'hydrogène a applications évidentes à la physique du monde réel, mais dans la pratique, la situation d'un électron autour du noyau d'un atome d'hydrogène peut être considérée comme assez similaire aux problèmes potentiels de puits. Cependant, la situation est tridimensionnelle et est mieux décrite en coordonnées sphériques r
, θ
, ϕ
. La solution dans ce cas est donnée par:
Ψ (x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Où P
sont les polynômes de Legendre, R
sont des solutions radiales spécifiques, et N
est une constante que vous fixez en utilisant le fait que la fonction d'onde doit être normalisée. L'équation donne les niveaux d'énergie donnés par:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Où Z
est ici le numéro atomique (donc Z
\u003d 1 pour un atome d'hydrogène), e
dans ce cas est la charge d'un électron (plutôt que la constante e
\u003d 2,7182818 ...), ϵ
_{0 est la permittivité de l'espace libre, et μ
est la masse réduite, qui est basée sur les masses du proton et de l'électron dans un atome d'hydrogène. Cette expression est bonne pour tout atome semblable à l'hydrogène, ce qui signifie toute situation (y compris les ions) où il y a un électron en orbite autour d'un noyau central.}