Merci à Einstein, nous savons que notre espace tridimensionnel est déformé et courbé. Et dans l'espace courbe, les idées normales de la géométrie et des lignes droites s'effondrent, créant une chance d'explorer un paysage inconnu régi par de nouvelles règles. Mais étudier comment la physique se joue dans un espace courbe est un défi :tout comme dans l'immobilier, l'emplacement est tout.

"Nous savons par la relativité générale que l'univers lui-même est courbé en divers endroits, " déclare Alicia Kollár, boursière de JQI, qui est également professeur de physique à l'Université du Maryland (UMD). "Mais, n'importe quel endroit où il y a en fait un laboratoire est très faiblement courbé parce que si vous deviez aller à l'un de ces endroits où la gravité est forte, cela ne ferait que déchirer le laboratoire."

Les espaces qui ont des règles géométriques différentes de celles que nous tenons habituellement pour acquises sont appelés non-euclidiens. Si vous pouviez explorer des environnements non euclidiens, vous trouverez des paysages déroutants. L'espace pourrait se contracter de sorte que tout droit, les lignes parallèles se rapprochent au lieu de maintenir rigidement un espacement fixe. Ou il pourrait s'étendre de sorte qu'ils s'éloignent pour toujours. Dans un tel monde, quatre routes de même longueur qui sont toutes reliées par des virages à droite à angle droit peuvent ne pas former un bloc carré qui vous ramène à votre intersection initiale.

Ces environnements renversent les hypothèses fondamentales de la navigation normale et peuvent être impossibles à visualiser avec précision. Les géométries non euclidiennes sont si étrangères qu'elles ont été utilisées dans les jeux vidéo et les histoires d'horreur comme des paysages contre nature qui défient ou perturbent le public.

Mais ces géométries inconnues sont bien plus que lointaines, abstractions d'un autre monde. Les physiciens s'intéressent à la nouvelle physique que l'espace courbe peut révéler, et les géométries non euclidiennes pourraient même aider à améliorer la conception de certaines technologies. Un type de géométrie non euclidienne qui présente un intérêt est l'espace hyperbolique, également appelé espace à courbe négative. Même un bidimensionnel, version physique d'un espace hyperbolique est impossible à faire dans notre normal, environnement « plat ». Mais les scientifiques peuvent toujours imiter les environnements hyperboliques pour explorer comment certaines physiques se déroulent dans un espace à courbe négative.

Dans un article récent dans Physical Review A, une collaboration entre les groupes de Kollár et JQI Fellow Alexey Gorshkov, qui est également physicien au National Institute of Standards and Technology et membre du Joint Center for Quantum Information and Computer Science, a présenté de nouveaux outils mathématiques pour mieux comprendre les simulations d'espaces hyperboliques. La recherche s'appuie sur les expériences précédentes de Kollár pour simuler des grilles ordonnées dans l'espace hyperbolique en utilisant la lumière micro-ondes contenue sur des puces. Leur nouvelle boîte à outils comprend ce qu'ils appellent un "dictionnaire entre géométrie discrète et continue" pour aider les chercheurs à traduire les résultats expérimentaux sous une forme plus utile. Avec ces outils, les chercheurs peuvent mieux explorer le monde à l'envers de l'espace hyperbolique.

La situation n'est pas exactement comme Alice tombant dans le terrier du lapin, mais ces expériences sont l'occasion d'explorer un nouveau monde où des découvertes surprenantes pourraient se cacher derrière n'importe quel coin et le sens même de tourner un coin doit être reconsidéré.

"Il y a vraiment beaucoup d'applications de ces expériences, " déclare Igor Boettcher, chercheur postdoctoral JQI, qui est le premier auteur du nouveau document. "À ce point, il est imprévisible ce que tout peut être fait, mais je m'attends à ce qu'il ait beaucoup d'applications riches et beaucoup de physique intéressante. »

Un nouveau monde incurvé

Dans l'espace plat, la distance la plus courte entre deux points est une ligne droite, et les lignes parallèles ne se croiseront jamais, quelle que soit leur longueur. Dans un espace courbe, ces bases de la géométrie ne sont plus vraies. Les définitions mathématiques de plat et de courbe sont similaires à la signification quotidienne lorsqu'elles sont appliquées à deux dimensions. Vous pouvez avoir une idée des bases des espaces courbes en imaginant ou en jouant avec des morceaux de papier ou des cartes.

Par exemple, la surface d'un globe (ou de n'importe quelle boule) est un exemple d'espace bidimensionnel incurvé positivement. Et si vous essayez de transformer une carte plate en globe, vous vous retrouvez avec un excès de papier qui se froisse lorsque vous le courbez en une sphère. Pour avoir une sphère lisse, vous devez perdre l'excès d'espace, résultant en des lignes parallèles qui finissent par se rencontrer, comme les lignes de longitude qui commencent parallèlement à l'équateur et se rejoignent aux deux pôles. En raison de cette perte, vous pouvez considérer un espace incurvé positivement comme un espace moins spacieux qu'un espace plat.

L'espace hyperbolique est l'opposé d'un espace à courbe positive, un espace plus spacieux. Un espace hyperbolique s'éloigne de lui-même en tout point. Malheureusement, il n'y a pas d'équivalent hyperbolique d'une boule dans laquelle vous pouvez forcer une feuille bidimensionnelle; il ne rentrera littéralement pas dans le genre d'espace dans lequel nous vivons.

Le mieux que vous puissiez faire est de créer une forme de selle (ou un Pringle) où la feuille environnante s'incurve hyperboliquement à partir du point central. Il est impossible de rendre chaque point d'une feuille de la même manière hyperbolique; il n'y a aucun moyen de continuer à courber et à ajouter du papier pour créer un deuxième point de selle parfait sans qu'il ne se tasse et ne déforme le premier point de selle hyperbolique.

L'espace supplémentaire d'une géométrie hyperbolique la rend particulièrement intéressante car cela signifie qu'il y a plus de place pour former des connexions. Les différences dans les chemins possibles entre les points ont un impact sur la façon dont les particules interagissent et sur le type de grille uniforme, comme la grille heptagone illustrée ci-dessus, qui peut être réalisée. Tirer parti des connexions supplémentaires possibles dans un espace hyperbolique peut rendre plus difficile la séparation complète des sections d'une grille les unes des autres, ce qui pourrait avoir un impact sur la conception de réseaux comme Internet.

Naviguer dans des circuits labyrinthiques

Puisqu'il est impossible de créer physiquement un espace hyperbolique sur Terre, les chercheurs doivent se contenter de créer des expériences de laboratoire qui reproduisent certaines des caractéristiques de l'espace courbe. Kollár et ses collègues ont déjà montré qu'ils peuvent simuler un uniforme, espace courbe à deux dimensions. Les simulations sont effectuées à l'aide de circuits (comme celui illustré ci-dessus) qui servent de labyrinthe très organisé pour les micro-ondes à traverser.

Une caractéristique des circuits est que les micro-ondes sont indifférentes aux formes des résonateurs qui les contiennent et ne sont influencées que par la longueur totale. L'angle sous lequel les différents chemins se connectent n'a pas d'importance non plus. Kollár s'est rendu compte que ces faits signifient que l'espace physique du circuit peut effectivement être étiré ou comprimé pour créer un espace non euclidien, du moins en ce qui concerne les micro-ondes.

Dans leurs travaux antérieurs, Kollár et ses collègues ont pu créer des labyrinthes avec diverses formes de chemin en zigzag et démontrer que les circuits simulaient un espace hyperbolique. Malgré la commodité et l'ordre des circuits qu'ils utilisaient, la physique qui s'y joue représente toujours un nouveau monde étrange qui nécessite de nouveaux outils mathématiques pour naviguer efficacement.

Les espaces hyperboliques offrent aux physiciens des défis mathématiques différents de ceux des espaces euclidiens dans lesquels ils travaillent normalement. Par exemple, les chercheurs ne peuvent pas utiliser l'astuce standard des physiciens consistant à imaginer un réseau de plus en plus petit pour comprendre ce qui se passe pour une grille infiniment petite, qui devrait agir comme un lisse, espace continu. En effet, dans un espace hyperbolique, la forme du réseau change avec sa taille en raison de la courbure de l'espace. Le nouvel article établit des outils mathématiques, comme un dictionnaire entre géométrie discrète et continue, pour contourner ces problèmes et donner du sens aux résultats des simulations.

Avec les nouveaux outils, les chercheurs peuvent obtenir des descriptions et des prédictions mathématiques exactes au lieu de simplement faire des observations qualitatives. Le dictionnaire leur permet d'étudier des espaces hyperboliques continus même si la simulation n'est que d'une grille. Avec le dictionnaire, les chercheurs peuvent prendre une description des micro-ondes voyageant entre les points distincts de la grille et les traduire en une équation décrivant une diffusion douce, ou convertir des sommes mathématiques sur tous les sites de la grille en intégrales, ce qui est plus pratique dans certaines situations.

"Si vous me donnez une expérience avec un certain nombre de sites, ce dictionnaire vous dit comment le traduire dans un cadre dans l'espace hyperbolique continu, " dit Boettcher. " Avec le dictionnaire, nous pouvons déduire tous les paramètres pertinents que vous devez connaître dans la configuration du laboratoire, en particulier pour les systèmes finis ou petits, ce qui est toujours expérimentalement important."

Avec les nouveaux outils pour aider à comprendre les résultats de la simulation, les chercheurs sont mieux équipés pour répondre aux questions et faire des découvertes avec les simulations. Boettcher se dit optimiste quant à l'utilité des simulations pour enquêter sur la correspondance AdS/CFT, une conjecture physique pour combiner les théories de la gravité quantique et les théories quantiques des champs en utilisant une description non euclidienne de l'univers. Et Kollár prévoit d'explorer si ces expériences peuvent révéler encore plus de physique en incorporant des interactions dans les simulations.

"Le matériel a ouvert une nouvelle porte, " dit Kollár. " Et maintenant, nous voulons voir à quelle physique cela nous permettra d'aller. "