Une nouvelle recherche à l'Université de Warwick a (pardonnez le jeu de mots) a donné une nouvelle tournure à une analogie mathématique impliquant une sauterelle sauteuse et sa forme de pelouse idéale. Ce travail pourrait nous aider à comprendre les états de spin des particules intriquées quantiques.

Le problème de la sauterelle a été conçu par les physiciennes Olga Goulko (alors à UMass Amherst), Adrian Kent et Damián Pitalúa-García (Cambridge). Ils ont demandé la forme de pelouse idéale qui maximiserait les chances qu'une sauterelle, partir d'une position aléatoire sur la pelouse et sauter une distance fixe dans une direction aléatoire, retombe sur la pelouse. Intuitivement, on pourrait s'attendre à ce que la réponse soit une pelouse circulaire, au moins pour les petits sauts. Mais Goulko et Kent ont en fait prouvé le contraire :diverses formes allant d'un motif de roue dentée à certaines parcelles de pelouse déconnectées ont mieux fonctionné pour différentes tailles de saut (lien vers le document technique).

Au-delà des surprises sur les formes des pelouses et les sauterelles, la recherche a fourni des informations utiles sur les inégalités de type Bell reliant les probabilités des états de spin de deux particules intriquées quantiques séparées. L'inégalité de Bell, prouvé par le physicien John Stewart Bell en 1964 et plus tard généralisé à bien des égards, a démontré qu'aucune combinaison de théories classiques avec la relativité restreinte d'Einstein n'est capable d'expliquer les prédictions (et plus tard les observations expérimentales réelles) de la théorie quantique.

L'étape suivante consistait à tester le problème de la sauterelle sur une sphère. La sphère de Bloch est une représentation géométrique de l'espace d'état d'un seul bit quantique. Un grand cercle sur la sphère de Bloch définit des mesures de polarisation linéaire, qui sont facilement mis en œuvre et couramment utilisés dans Bell et d'autres tests cryptographiques. En raison de la symétrie antipodale de la sphère de Bloch, une pelouse couvre la moitié de la surface totale, et l'hypothèse naturelle serait que la pelouse idéale est hémisphérique. Chercheurs du Département d'informatique de l'Université de Warwick, en collaboration avec Goulko et Kent, a étudié ce problème et a constaté qu'il nécessite également des motifs de pelouse non intuitifs. Le résultat principal est que l'hémisphère n'est jamais optimal, sauf dans le cas particulier où la sauterelle a besoin d'exactement un nombre pair de sauts pour faire le tour de l'équateur. Cette recherche montre qu'il existe des types d'inégalités de Bell jusqu'alors inconnus.

L'un des auteurs de l'article, Dmitry Chistikov du Center for Discrete Mathematics and its Applications (DIMAP) et du Département d'informatique, à l'Université de Warwick, a commenté :

"La géométrie sur la sphère est fascinante. La règle des sinus, par exemple, semble plus agréable pour la sphère que l'avion, mais cela n'a pas rendu notre travail facile."

L'autre auteur de Warwick, Professeur Mike Paterson FRS, mentionné:

"La géométrie sphérique rend l'analyse du problème des sauterelles plus compliquée. Dmitry, étant de la jeune génération, utilisé un manuel de 1948 et des calculs au crayon et au papier, alors que j'ai eu recours à mes bonnes vieilles méthodes Mathematica."

Le papier, intitulé "Globe sautant, " est publié dans le Actes de la Royal Society A . C'est un travail interdisciplinaire impliquant les mathématiques et la physique théorique, avec des applications à la théorie de l'information quantique.