Parce que les veines se ramifient en divisions à peu près proportionnelles, ils sont également considérés comme une fractale. Crédit :image de courtoisie/Mitchell Newberry
Les tremblements de terre géants et l'extrême richesse peuvent ne pas sembler avoir grand-chose en commun, mais la fréquence à laquelle le "Big One" frappera San Francisco et la fréquence à laquelle quelqu'un gagnera autant d'argent que Bill Gates peuvent tous deux être prédits avec une mesure statistique appelée exposant de la loi de puissance.
Pour le siècle dernier, les chercheurs ont utilisé ce qu'on appelle une loi de puissance pour prédire certains types d'événements, y compris la fréquence à laquelle se produiront des tremblements de terre à certains points de l'échelle de Richter. Mais un chercheur de l'Université du Michigan a remarqué que cette loi de puissance ne convient pas à toutes les circonstances.
Mitchell Newberry, un boursier du Michigan et professeur adjoint au U-M Center for the Study of Complex Systems, suggère un ajustement de la loi de puissance qui tiendrait compte des événements qui augmentent ou diminuent dans des proportions fixes, par exemple, lorsqu'un manager gagne environ 20 pour cent de plus que son employé.
Ces ajustements affectent la façon d'estimer les probabilités de tremblements de terre, le nombre de capillaires dans le corps humain, et la taille des mégapoles et des éruptions solaires. Et ils peuvent revoir quand s'attendre au prochain Big One.
Lorsque les scientifiques tracent quelque chose comme la probabilité d'une richesse extrême sur un graphique, la courbe est une ligne lisse. C'est parce que les gens peuvent avoir n'importe quelle somme d'argent sur leur compte bancaire.
"La douceur de cette courbe signifie que n'importe quelle valeur est possible, " Newberry a déclaré. "Je pourrais gagner un centime de plus aussi facilement qu'un centime de moins."
Ce n'est pas exactement le cas avec des événements tels que les tremblements de terre en raison de la façon dont ils sont enregistrés sur l'échelle de Richter. La magnitude Richter des tremblements de terre augmente ou diminue par incréments de 0,1, exponentiellement. Un séisme de magnitude 3,1 est 1,26 fois plus puissant qu'un séisme de magnitude 3,0, donc toutes les valeurs ne sont pas possibles sur l'échelle. L'échelle de Richter est un exemple d'un concept appelé « auto-similarité, " ou lorsqu'un événement ou une chose est constitué de copies proportionnellement plus petites de lui-même.
Vous pouvez voir l'auto-similarité dans la nature comme la ramification des veines dans une feuille, ou en géométrie comme emboîtant des triangles dans des triangles plus grands de même forme, appelé triangle de Sierpinski. Donc, pour tenir compte des événements qui changent dans des proportions exactes, Newberry et son co-auteur Van Savage de l'Université de Californie, Los Angeles, construit la loi de puissance discrète.
La courbe de Koch se répète à l'infini, affichant une auto-similitude. Crédit : utilisateur de Wikimedia Leofun01
Dans ces équations de loi de puissance, l'exposant dans l'équation est la variable que les scientifiques résolvent. Dans les tremblements de terre, cet exposant, appelée valeur b de Gutenberg-Richter, a été mesuré pour la première fois en 1944 et indique la fréquence à laquelle un tremblement de terre d'une certaine force est susceptible de se produire. La loi de puissance discrète de Newberry a produit une correction de 11,7% par rapport aux estimations basées sur la loi de puissance continue, rapprocher l'exposant de la fréquence historique des grands tremblements de terre. Même une correction de 5% se traduit par une différence plus du double dans le moment où s'attendre au prochain tremblement de terre géant.
« Depuis 100 ans, les gens ont parlé à peu près d'un type de distribution de loi de puissance. C'est la loi de puissance distribution de la richesse et des tremblements de terre, " Newberry a dit. " Seulement maintenant, nous documentons ces échelles discrètes. Au lieu d'une courbe lisse, notre loi de puissance ressemble à un escalier infini."
Newberry a remarqué la faille dans la loi de puissance continue dans son étude de la physique du système circulatoire. Le système circulatoire commence par un gros vaisseau sanguin :l'aorte. Au fur et à mesure que l'aorte se divise en différentes branches, les artères carotide et sous-clavière, chaque nouvelle branche diminue de diamètre d'environ deux tiers.
Il utilisait la loi de puissance continue pour estimer la taille des vaisseaux sanguins au fur et à mesure qu'ils continuent à se ramifier. Mais la loi de puissance a donné des tailles de vaisseaux sanguins qui ne pouvaient pas se produire. Cela indiquait qu'un vaisseau sanguin pouvait n'être que légèrement plus petit que le tronc d'où il se ramifiait au lieu d'environ les deux tiers de la taille de ce tronc.
"En utilisant la loi de puissance continue, nous obtenions juste des réponses que nous savions fausses, " Newberry a dit. " En déboguant ce qui a échoué, nous avons découvert que cette distribution suppose que chaque taille de vaisseau sanguin est également plausible. Nous savons que pour la vascularisation réelle, ce n'est pas le cas."
Alors Newberry a inversé la loi de puissance. En regardant les vaisseaux sanguins, Newberry a pu déduire l'exposant de la loi de puissance à partir de deux constantes :combien de branches à chaque jonction - deux - et combien chaque branche est plus petite par rapport au tronc. Mesurer la taille des navires à chaque division, Newberry a pu résoudre la répartition des vaisseaux sanguins.
"Il y a un juste milieu entre une loi de puissance continue et la loi de puissance discrète, " Newberry a déclaré. "Dans la loi de puissance discrète, tout est disposé dans des proportions parfaitement rigides de l'échelle la plus élevée à l'infiniment petit. Dans la loi de puissance continue, tout est parfaitement disposé au hasard. Presque tout ce qui se ressemble en réalité est un mélange des deux."
L'étude de Newberry est publiée dans la revue Lettres d'examen physique .
