(Phys.org)—N'importe quel numéro peut, en théorie, s'écrit comme le produit de nombres premiers. Pour les petits nombres, c'est facile (par exemple, les facteurs premiers de 12 sont 2, 2, et 3), mais pour les grands nombres, la factorisation en nombres premiers devient extrêmement difficile, si difficile que de nombreux algorithmes de cryptographie d'aujourd'hui reposent sur la complexité de la factorisation en nombres premiers de nombres avec des centaines de chiffres pour assurer la sécurité des informations privées.

Cependant, personne ne sait exactement à quel point il est difficile de décomposer de très grands nombres en leurs facteurs premiers. Cette question, appelé problème de factorisation, est l'un des plus grands problèmes non résolus de l'informatique, malgré l'utilisation de stratégies mathématiques et informatiques avancées pour tenter de le résoudre.

Maintenant, dans une nouvelle étude publiée dans Lettres d'examen physique , les chercheurs Jose Luis Rosales et Vicente Martin de l'Université technique de Madrid ont adopté une approche différente du problème.

Les chercheurs ont montré que l'arithmétique utilisée pour factoriser les nombres dans leurs facteurs premiers peut être traduite dans la physique d'un appareil - un "simulateur quantique" - qui imite physiquement l'arithmétique plutôt que d'essayer de calculer directement une solution comme le fait un ordinateur.

Bien que les chercheurs n'aient pas encore construit de simulateur quantique, ils montrent que les facteurs premiers des grands nombres correspondraient aux valeurs énergétiques du simulateur. La mesure des valeurs énergétiques donnerait alors les solutions à un problème de factorisation donné, ce qui suggère que la factorisation de grands nombres dans des nombres premiers n'est peut-être pas aussi difficile qu'on le pense actuellement.

"Le travail ouvre une nouvelle voie aux nombres factoriels, mais nous ne connaissons pas encore sa puissance, " Rosales a dit Phys.org . "Il est très frappant de trouver une toute nouvelle façon de factoriser qui vient directement de la physique quantique. Cela ne démontre pas que la factorisation des nombres est facile, mais trouver de nouvelles façons de factoriser n'ajoute certainement pas à la force des algorithmes basés sur sa complexité supposée."

Pour l'instant, les chercheurs ne connaissent pas la complexité technique de la construction d'un tel appareil, ou s'il serait même possible de factoriser de très grands nombres.

"Nous avons montré qu'il existe un simulateur quantique capable de factoriser des nombres et, en principe, il pourrait être construit, " a déclaré Martin. " Reste à savoir si le simulateur est réalisable avec la technologie actuelle de manière à pouvoir prendre en compte des nombres de la même taille que ceux utilisés en cryptographie, mais l'avenue est maintenant ouverte. La perspective de construire un tel appareil avant qu'un ordinateur quantique ne soit construit est quelque chose à considérer sérieusement."

Vers une théorie quantique des nombres

Outre le potentiel d'applications pratiques, les résultats sont également intéressants à un niveau plus fondamental.

"Selon nous, les contributions de l'article ont deux faces :en mathématiques pures et en cryptographie appliquée, " dit Rosales.

L'un des aspects les plus intéressants sur le plan mathématique du nouveau travail est qu'il implique de redéfinir le problème de factorisation en introduisant une nouvelle fonction arithmétique qui pourrait ensuite être mappée sur la physique du simulateur quantique et correspondre aux valeurs d'énergie. Dans un sens, les chercheurs réécrivent le problème mathématique en termes de physique.

"Le manuscrit essaie de faire le pont entre la théorie des nombres et la physique quantique, " Rosales a dit, notant que les chercheurs tentent de le faire depuis plusieurs décennies. "Aujourd'hui, avec le développement de l'information et du calcul quantiques et la découverte de l'algorithme de Shor, la connexion semble plus intrigante et importante que jamais."

À long terme, ce type d'enquête pourrait finalement conduire à une théorie des nombres quantiques, une théorie des nombres basée sur des systèmes quantiques physiques.

"Pour développer une théorie des nombres quantiques, il nous faut un système quantique (au moins théorique) capable de reproduire les nombres premiers, " dit Martin. " Dans le journal, notre idée était d'essayer d'obtenir un système capable de factoriser un nombre en ses nombres premiers. La méthode est « analogique » dans le sens où elle ne ressemble pas à l'algorithme de Shor, qui est programmable dans un ordinateur quantique suivant le modèle de porte. Au lieu, c'est la mesure d'un système quantique soigneusement défini qui fournit la réponse.

"Pour mener à bien ce programme, nous devons d'abord concevoir une formulation arithmétique du problème de factorisation qui puisse être quantifiée. Il faut trouver une fonction arithmétique, finalement lié à un hamiltonien, et mettre en place le problème de mécanique quantique de telle sorte que sa solution corresponde à la solution du problème de factorisation. Dans le travail, nous avons réussi à mettre en œuvre ces idées. Nous avons trouvé la fonction arithmétique correcte, défini l'ensemble de factorisation pour lier l'hamiltonien et obtenu la solution du problème de mécanique quantique. Au meilleur de notre connaissance, cela n'a pas été réalisé auparavant, bien que la nôtre n'était pas la première tentative.

"Comme on le fait toujours en physique, valider les résultats, nous devons prouver ses capacités prédictives, nous avons donc fait des prédictions avec eux :obtenu un algorithme de factorisation complètement nouveau, sans similitude avec aucun autre algorithme de factorisation que nous connaissons, et vérifié minutieusement les statistiques de la solution par rapport au théorème des nombres premiers.

« Les résultats nous ont vraiment stupéfaits. Pour le démontrer, dans l'article, nous montrons comment le spectre reproduit la fonction de comptage des nombres premiers et est presque identique à celui de Riemann. Ceci est obtenu comme une conséquence directe de la théorie de la mécanique quantique et n'a pas d'équivalent dans la théorie des nombres. En poussant cela à l'extrême, cela pourrait même être considéré comme la physique sous-jacente à l'hypothèse de Riemann [l'un des problèmes ouverts les plus importants de la théorie des nombres] dans le sens où l'hamiltonien est naturellement borné, sans aucune autre hypothèse."

Les chercheurs expliquent que, Dans cet article, ils ont juste laissé entendre que les résultats ont des implications mathématiques plus profondes, et ils prévoient d'approfondir ces possibilités à l'avenir. Ils étudient également ce qu'il faudrait pour construire un simulateur quantique.

"Nous avons des recherches en cours sur la théorie de la construction d'un simulateur, " dit Rosales. " La première impression est encourageante, même si rien n'est encore décidé."

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