L'un des résultats les plus célèbres dans ce domaine est la conjecture de Kepler, selon laquelle aucun arrangement de sphères identiques ne peut avoir une densité supérieure à celle du réseau cubique à faces centrées (FCC). Cette conjecture a été proposée pour la première fois en 1611 par Johannes Kepler, mais elle n'a été prouvée qu'en 1998 par Thomas Hales.
Le réseau FCC est un arrangement tridimensionnel de sphères dans lequel chaque sphère est entourée de 12 autres sphères. Cet agencement a une densité d'environ 74 %, ce qui signifie qu'environ 26 % de l'espace du réseau est vide.
La conjecture de Kepler est également vraie pour d'autres polyèdres, tels que les cubes et les octaèdres. Cependant, les dispositions de compactage optimales pour ces polyèdres sont plus compliquées que le réseau FCC.
Par exemple, la disposition optimale pour les cubes est le réseau cubique centré sur le corps (BCC), dans lequel chaque cube est entouré de 8 autres cubes. Le réseau BCC a une densité d’environ 68 %, ce qui signifie qu’environ 32 % de l’espace du réseau est vide.
La disposition optimale pour les octaèdres est le réseau cubique simple (SC), dans lequel chaque octaèdre est entouré de 6 autres octaèdres. Le réseau SC a une densité d'environ 52 %, ce qui signifie qu'environ 48 % de l'espace du réseau est vide.
Les scientifiques et les mathématiciens étudient encore le problème de l’emballage des polyèdres dans une boîte. De nombreuses questions restent ouvertes dans ce domaine, telles que les arrangements optimaux pour d’autres polyèdres et les arrangements les plus denses possibles pour les mélanges de différents polyèdres.
