Comprendre les concepts
* Motion harmonique simple (SHM): Un type de mouvement périodique où la force de restauration est proportionnelle au déplacement de l'équilibre. Les exemples incluent une masse sur un printemps ou un pendule se balançant à travers de petits angles.
* énergie cinétique (KE): L'énergie du mouvement, donnée par Ke =(1/2) mv², où m est masse et v est la vitesse.
* Énergie potentielle (PE): L'énergie stockée en raison de la position ou de la configuration d'un objet. Pour un ressort, PE =(1/2) kx², où k est la constante de ressort et x est le déplacement de l'équilibre.
Dérivation
1. Énergies d'assimilation: Lorsque les énergies cinétiques et potentielles sont égales, nous avons:
(1/2) mv² =(1/2) kx²
2. Varicité relative au déplacement: Dans SHM, la vitesse (V) à un déplacement (x) est liée à la fréquence angulaire (ω) et à l'amplitude (a) par:
v =ω√ (a² - x²)
3. substituant à la vitesse: Remplacez cette expression par V dans l'équation énergétique:
(1/2) m (ω√ (a² - x²)) ² =(1/2) kx²
4. Simplifiant:
(1/2) Mω² (a² - x²) =(1/2) kx²
Mω²a² - MΩ²x² =kx²
5. Résolution pour x: Réorganisez l'équation à résoudre pour x:
x² (k + MΩ²) =MΩ²a²
x² =(Mω²a²) / (k + MΩ²)
x =√ ((Mω²a²) / (k + MΩ²))
6. en utilisant ω² =k / m: N'oubliez pas que pour un système de masse à ressort en SHM, ω² =k / m. Substituant ceci:
x =√ ((Mω²a²) / (k + k))
x =√ ((Mω²a²) / (2k))
7. Résultat final: Depuis ω² =k / m, nous pouvons encore simplifier:
x =√ ((m (k / m) a²) / (2k))
x =a / √2
Conclusion
Lorsque les énergies cinétiques et potentielles d'un objet en SHM sont égales, le déplacement (x) est égal à l'amplitude (a) divisé par la racine carrée de 2. En d'autres termes, l'objet est à environ 70,7% de son déplacement maximal de l'équilibre .
