Parfois, la quantité x _{f - x i
s'écrit}

Δx
, ce qui signifie «le changement dans x
», ou même simplement comme d
, ce qui signifie déplacement. Tous sont équivalents. La position, la vitesse et l'accélération sont des quantités vectorielles, ce qui signifie qu'elles ont une direction qui leur est associée. Dans une dimension, la direction est généralement indiquée par des signes - les quantités positives sont dans le sens positif et les quantités négatives sont dans le sens négatif.
Indice: "0" peut être utilisé pour la position et la vitesse initiales au lieu de i
. Ce "0" signifie "à t
\u003d 0" et x <sub>0
et v 0
sont généralement prononcés "x-naught" et "v-rien". * Une seule des équations n'inclut pas le temps. Lors de l'écriture des données et de la détermination de l'équation à utiliser, c'est la clé!


Un cas particulier: la chute libre</sub>

Le mouvement de chute libre est le mouvement d'un objet qui accélère en raison de la gravité seul en l'absence de résistance à l'air. Les mêmes équations cinématiques s'appliquent; cependant, la valeur d'accélération près de la surface de la Terre est connue. L'amplitude de cette accélération est souvent représentée par g
, où g \u003d 9,8 m /s ^{2. La direction de cette accélération est vers le bas, vers la surface de la Terre. (Notez que certaines sources peuvent approcher g
comme 10 m /s 2, et d'autres peuvent utiliser une valeur précise à plus de deux décimales.)
Stratégie de résolution de problèmes pour les problèmes cinématiques en une dimension:}

Esquissez un diagramme de la situation et choisissez un système de coordonnées approprié. (Rappelez-vous que x
, v
et a
sont toutes des quantités vectorielles, donc en attribuant une direction positive claire, il sera plus facile de garder une trace des signes.)


Écrivez une liste de quantités connues. (Méfiez-vous que parfois les éléments connus ne sont pas évidents. Recherchez des expressions comme «commence par le repos», ce qui signifie que v _{i
\u003d 0, ou «touche le sol», ce qui signifie que x f
\u003d 0, etc.)}


Déterminez la quantité que la question veut que vous trouviez. Quelle est l'inconnue que vous allez résoudre?


Choisissez l'équation cinématique appropriée. Ce sera l'équation qui contient votre quantité inconnue avec les quantités connues.


Résolvez l'équation pour la quantité inconnue, puis branchez les valeurs connues et calculez la réponse finale. (Faites attention aux unités! Parfois, vous devrez convertir des unités avant de calculer.)

Exemples de cinématique unidimensionnelle


Exemple 1: Une publicité prétend qu'une voiture de sport peut passer de 0 à 60 mph en 2,7 secondes. Quelle est l'accélération de cette voiture en m /s ^{2? Quelle distance parcourt-il pendant ces 2,7 secondes?}


Solution:


(Insérer l'image 2)


Quantités connues et inconnues:
v_i \u003d 0 \\ text {mph } \\\\ v_f \u003d 60 \\ text {mph} \\\\ t \u003d 2.7 \\ text {s} \\\\ x_i \u003d 0 \\\\ a \u003d \\ text {?} \\\\ x_f \u003d \\ text {?}

La première partie de la question nécessite une résolution pour l'accélération inconnue. Ici, nous pouvons utiliser l'équation # 1:
v_f \u003d v_i + à \\ implique a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} t

Avant de brancher des nombres, cependant, nous devons convertir 60 mph en m /s:
60 \\ cancel {\\ text {mph}} \\ Bigg (\\ frac {0.477 \\ text {m /s}} {\\ cancel {\\ text {mph}}} \\ Bigg) \u003d 26.8 \\ text {m /s}

Donc l'accélération est alors:
a \u003d \\ frac {(26.8-0)} {2.7} \u003d \\ underline {\\ bold {9.93} \\ text {m /s} ^ 2}

Afin de savoir jusqu'où cela va dans ce temps, nous pouvons utiliser l'équation # 2:
x_f \u003d x_i + v_it + \\ frac 1 2 at ^ 2 \u003d \\ frac 1 2 \\ times 9.93 \\ times 2.7 ^ 2 \u003d \\ souligné {\\ bold {36.2} \\ text {m}}

Exemple 2: Une balle est lancée à une vitesse de 15 m /s à partir d'une hauteur de 1,5 m. À quelle vitesse va-t-il quand il touche le sol? Combien de temps faut-il pour toucher le sol?


Solution:


(Insérer l'image 3)


Quantités connues et inconnues:
x_i \u003d 1.5 \\ text {m } \\\\ x_f \u003d 0 \\ text {m} \\\\ v_i \u003d 15 \\ text {m /s} \\\\ a \u003d -9.8 \\ text {m /s} ^ 2 \\\\ v_f \u003d? \\\\ t \u003d?

Pour résoudre la première partie, nous pouvons utiliser l'équation # 3:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \\ implique v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

Tout est déjà en unités cohérentes, nous pouvons donc insérer des valeurs:
v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5) } \u003d \\ pm \\ sqrt {254.4} \\ approx \\ pm16 \\ text {m /s}

Il y a deux solutions ici. Laquelle est correcte? De notre diagramme, nous pouvons voir que la vitesse finale devrait être négative. La réponse est donc:
v_f \u003d \\ underline {\\ bold {-16} \\ text {m /s}}

Pour résoudre pour le temps, nous pouvons utiliser l'équation # 1 ou l'équation # 2. Puisque l'équation # 1 est plus simple à utiliser, nous utiliserons celle-ci:
v_f \u003d v_i + à \\ implique t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a} \u003d \\ frac {(-16-15) } {- 9.8} \\ approx \\ underline {\\ bold {3.2} \\ text {s}}

Notez que la réponse à la première partie de cette question n'était pas 0 m /s. S'il est vrai qu'après que la balle atterrira, elle aura une vitesse nulle, cette question veut savoir à quelle vitesse elle va dans cette fraction de seconde avant l'impact. Une fois que la balle entre en contact avec le sol, nos équations cinématiques ne s'appliquent plus car l'accélération ne sera pas constante.
Equations cinématiques pour le mouvement de projectile (deux dimensions)


Un projectile est un objet se déplaçant en deux dimensions sous l'influence de la gravité de la Terre. Son chemin est une parabole car la seule accélération est due à la gravité. Les équations cinématiques pour le mouvement du projectile prennent une forme légèrement différente des équations cinématiques énumérées ci-dessus. Nous utilisons le fait que les composants de mouvement qui sont perpendiculaires les uns aux autres - tels que la direction x
horizontale et la direction y
verticale - sont indépendants.
Stratégie de résolution de problèmes pour le mouvement de projectiles Problèmes cinématiques:


Esquissez un diagramme de la situation. Tout comme pour le mouvement unidimensionnel, il est utile d'esquisser le scénario et d'indiquer le système de coordonnées. Au lieu d'utiliser les étiquettes x
, v
et a
pour la position, la vitesse et l'accélération, nous avons besoin d'un moyen d'étiqueter le mouvement dans chaque dimension séparément.


Pour la direction horizontale, il est plus courant d'utiliser x
pour la position et v _{x
pour la composante x de la vitesse (notez que l'accélération est nulle dans ce cas). direction, donc nous n'avons pas besoin d'une variable pour cela.) Dans la direction y
, il est plus courant d'utiliser y
pour la position et v y
pour la composante y de la vitesse. L'accélération peut être étiquetée a y
ou nous pouvons utiliser le fait que nous savons que l'accélération due à la gravité est g
dans la direction y négative, et il suffit de l'utiliser à la place .}


Écrivez une liste de quantités connues et inconnues en divisant le problème en deux sections: mouvement vertical et horizontal. Utilisez la trigonométrie pour trouver les composantes x et y de toutes les quantités vectorielles qui ne se trouvent pas le long d'un axe. Il peut être utile de les répertorier dans deux colonnes:


(insérer le tableau 1)


Remarque: Si la vitesse est donnée sous forme de magnitude avec un angle, Ѳ
, au-dessus de l'horizontale, puis utilisez la décomposition vectorielle, v _{x \u003d vcos (Ѳ)
et v y \u003d vsin (Ѳ)
.}


Nous pouvons considérer nos trois équations cinématiques d'avant et les adapter respectivement aux directions x et y.


Direction X:
x_f \u003d x_i + v_xt

Direction Y:
v_ {yf} \u003d v_ {yi} -gt \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\\\ (v_ {yf}) ^ 2 \u003d (v_ {yi}) ^ 2-2g (y_f - y_i)

Notez que l'accélération dans la direction y
est -g si nous supposons que up est positive. Une idée fausse commune est que g \u003d -9,8 m /s ^{2, mais c'est incorrect; g
lui-même est simplement la magnitude de l'accélération: g \u003d 9,8 m /s 2, nous devons donc spécifier que l'accélération est négative.}


Résoudre une inconnue dans une de ces dimensions, puis branchez ce qui est commun dans les deux directions. Bien que le mouvement dans les deux dimensions soit indépendant, il se produit sur la même échelle de temps, donc la variable de temps est la même dans les deux dimensions. (Le temps qu'il faut au ballon pour subir son mouvement vertical est le même que le temps qu'il faut pour subir son mouvement horizontal.)

Exemples cinématiques de mouvement de projectile


Exemple 1: Un projectile est lancé horizontalement à partir d'une falaise de hauteur 20 m avec une vitesse initiale de 50 m /s. Combien de temps faut-il pour toucher le sol? À quelle distance de la base de la falaise at-elle atterri?


(insérer l'image 4)


Quantités connues et inconnues:


(insérer le tableau 2)


Nous pouvons trouver le temps qu'il faut pour toucher le sol en utilisant la deuxième équation de mouvement vertical:
y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\ implique t \u003d \\ sqrt {\\ frac { (2 \\ fois 20)} g} \u003d \\ underline {\\ bold {2.02} \\ text {s}}

Puis pour trouver où il atterrit, x _{f
, nous pouvons utiliser le équation de mouvement horizontal:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 50 \\ times2.02 \u003d \\ underline {\\ bold {101} \\ text {s}}}

Exemple 2: Une balle est lancée à 100 m /s du sol niveau à un angle de 30 degrés avec l'horizontale. Où at-il atterri? Quand sa vitesse est-elle la plus petite? Quelle est sa position en ce moment?


(insérer l'image 5)


Grandeurs connues et inconnues:


Nous devons d'abord diviser le vecteur vitesse en composantes:
v_x \u003d v_i \\ cos (\\ theta) \u003d 100 \\ cos (30) \\ approx 86.6 \\ text {m /s} \\\\ v_ {yi} \u003d v_i \\ sin (\\ theta) \u003d 100 \\ sin (30) \u003d 50 \\ text {m /s}

Notre tableau des quantités est alors:


(insérer le tableau 3)


Nous devons d'abord trouver l'heure à laquelle la balle est en vol. Nous pouvons le faire avec la deuxième équation verticale_. Notez que nous utilisons la symétrie de la parabole pour déterminer que la vitesse finale _y
est le négatif de l'initial:


Ensuite, nous déterminons jusqu'où elle se déplace dans la direction x
dans ce temps:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86,6 \\ times 10,2 \\ approx \\ underline {\\ bold {883} \\ text m}

En utilisant la symétrie de la chemin parabolique, nous pouvons déterminer que la vitesse est la plus petite à 5,1 s, lorsque le projectile est au sommet de son mouvement et que la composante verticale de la vitesse est 0. Les composantes x et y de son mouvement à ce moment sont:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86,6 \\ times 5.1 \\ approx \\ underline {\\ bold {442} \\ text m} \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \u003d 50 \\ times5. 1- \\ frac 1 2 9.8 \\ times 5.1 ^ 2 \\ approx \\ underline {\\ bold {128} \\ text {m}} Dérivation d'équations cinématiques


Équation # 1: Si l'accélération est constante, alors:
a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {t}

Résolvant pour la vitesse, nous avons:
v_f \u003d v_i + à

Équation # 2: La vitesse moyenne peut être écrite en deux façons :
v_ {avg} \u003d \\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Si nous remplaçons _v _{f _ par l'expression de l'équation # 1, nous obtenons:
\\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}}

Résolution pour x _{f
donne:
x_f \u003d x_i + v_i t + \\ frac 1 2 à ^ 2}

Équation # 3: Commencez par résoudre pour t
dans l'équation # 1
v_f \u003d v_i + at \\ implique t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a}

Branchez cette expression pour t
dans la relation de vitesse moyenne:
v_ {avg} \u003d \\ frac { (x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2} \\ implique \\ frac {(x_f-x_i)} {(\\ frac {(v_f-v_i)} {a})} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Réorganiser cette expression donne:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)