L'une des vertus de la géométrie, du point de vue d'un enseignant, est qu'elle est très visuelle. Par exemple, vous pouvez prendre le théorème de Pythagore - un bloc de construction fondamental de la géométrie - et l'appliquer pour construire une spirale semblable à un escargot avec un certain nombre de propriétés intéressantes. Parfois appelé spirale de racine carrée ou spirale de Théodore, ce métier d'une simplicité trompeuse démontre les relations mathématiques d'une manière accrocheuse.
Un examen rapide du théorème
Le théorème de Pythagore déclare que dans un triangle rectangle , le carré de l'hypoténuse est égal au carré des deux autres côtés. Exprimé mathématiquement, cela signifie A carré + B carré \u003d C carré. Tant que vous connaissez les valeurs des deux côtés d'un triangle rectangle, vous pouvez utiliser ce calcul pour arriver à une valeur pour le troisième côté. L'unité de mesure réelle que vous choisissez d'utiliser peut être de quelques centimètres à plusieurs kilomètres, mais la relation reste la même. C'est important à retenir car vous ne travaillerez pas toujours nécessairement avec une mesure physique spécifique. Vous pouvez définir une ligne de n'importe quelle longueur comme "1" à des fins de calcul, puis exprimer toutes les autres lignes par sa relation avec l'unité choisie. Voilà comment fonctionne la spirale.
Démarrage de la spirale
Pour construire une spirale, faites un angle droit avec les côtés A et B de longueur égale, qui devient la valeur "1". Ensuite, faites un autre triangle rectangle en utilisant le côté C de votre premier triangle - l'hypoténuse - comme côté A du nouveau triangle. Gardez le côté B de la même longueur à votre valeur choisie de 1. Répétez le même processus à nouveau, en utilisant l'hypoténuse du deuxième triangle comme premier côté du nouveau triangle. Il faut 16 triangles pour faire le tour du point où la spirale commencerait à chevaucher votre point de départ, c'est là que le mathématicien antique Theodorus s'est arrêté.
La spirale racine carrée
Le théorème de Pythagore nous dit que l'hypoténuse du premier triangle doit être la racine carrée de 2, car chaque côté a une valeur de 1 et 1 au carré est toujours 1. Par conséquent, chaque côté a une aire de 1 au carré, et lorsque ceux-ci sont ajoutés, le résultat est 2 au carré. Ce qui rend la spirale intéressante, c'est que l'hypoténuse du triangle suivant est la racine carrée de 3, et celle qui suit est la racine carrée de 4, et ainsi de suite. C'est pourquoi on l'appelle souvent une spirale à racine carrée, plutôt qu'une spirale de Pythagore ou une spirale de Théodore. Sur le plan pratique, si vous prévoyez de créer une spirale en dessinant sur du papier ou en coupant des triangles de papier et en les montant sur un support en carton, vous pouvez calculer à l'avance la taille de votre valeur de 1 si la spirale finie est pour tenir sur la page. Votre ligne la plus longue sera la racine carrée de 17, quelle que soit la valeur de 1 que vous avez choisie. Vous pouvez travailler à reculons à partir de la taille de votre page pour trouver une valeur appropriée de 1.
La spirale comme outil pédagogique
La spirale a un certain nombre d'utilisations en salle de classe ou en tutorat, en fonction de l'âge des étudiants et leur familiarité avec les fondamentaux de la géométrie. Si vous venez d'introduire les concepts de base, la création de la spirale est un tutoriel utile sur le théorème de Pythagore. Par exemple, vous pouvez leur demander d'effectuer les calculs sur la base d'une valeur de 1, puis à nouveau en utilisant une longueur réelle en pouces ou en centimètres. La ressemblance de la spirale avec une coquille d'escargot offre une occasion de discuter de la façon dont les relations mathématiques apparaissent dans le monde naturel et - pour les jeunes enfants - se prête à des schémas décoratifs colorés. Pour les étudiants avancés, la spirale montre un certain nombre de relations intrigantes alors qu'elle se poursuit à travers plusieurs enroulements.
