Si vous aimez les bizarreries mathématiques, vous allez adorer le triangle de Pascal. Nommé d'après le mathématicien français du 17ème siècle Blaise Pascal, et connu par les Chinois pendant plusieurs siècles avant Pascal comme le triangle de Yanghui, c'est en réalité plus qu'une bizarrerie. C'est un arrangement spécifique des nombres qui est incroyablement utile dans l'algèbre et la théorie des probabilités. Certaines de ses caractéristiques sont plus perplexes et intéressantes qu'elles ne sont utiles. Ils aident à illustrer l'harmonie mystérieuse du monde telle que décrite par les nombres et les mathématiques.

TL, DR (trop long, pas lu)

Pascal a dérivé le triangle en augmentant (x + y) ^ n pour augmenter les valeurs de n et organiser les coefficients des termes dans un motif triangulaire. Il a beaucoup de propriétés intéressantes et utiles.

Construire le triangle de Pascal

La règle pour construire le triangle de Pascal ne pourrait pas être plus facile. Commencez avec le numéro un à l'apex et formez la deuxième rangée en dessous avec une paire de uns. Pour construire la troisième ligne et toutes les suivantes, commencez par en mettre une au début et à la fin. Dérivez chaque chiffre entre ces deux paires en ajoutant les deux chiffres immédiatement au-dessus. La troisième rangée est donc 1, 2, 1, la quatrième rangée est 1, 3, 3, 1, la cinquième rangée est 1, 4, 6, 4, 1 et ainsi de suite. Si chaque chiffre occupe une case de la même taille que toutes les autres cases, l'arrangement forme un triangle équilatéral parfait délimité de part et d'autre et dont la base est égale au nombre de rangs. Les lignes sont symétriques en ce sens qu'elles lisent les mêmes vers l'avant et vers l'avant.

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 
 Appliquer le triangle de Pascal dans l'algèbre 
 
 Pascal a découvert le triangle, connu depuis des siècles par les philosophes persans et chinois, lorsqu'il étudiait l'expansion algébrique de l'expression (x + y)  n. Lorsque vous étendez cette expression à la énième puissance, les coefficients des termes de l'expansion correspondent aux nombres de la nième rangée du triangle. Par exemple, (x + y)  0 = 1; (x + y)  1 = x + y; (x + y)  2 = x  2 + 2xy + y  2 et ainsi de suite. Pour cette raison, les mathématiciens appellent parfois l'arrangement le triangle des coefficients binomiaux. Pour un grand nombre de n, il est évidemment plus facile de lire les coefficients d'expansion du triangle que de les calculer. 
 
 Le triangle de Pascal dans la théorie des probabilités 
 
 Supposons que vous jetiez une pièce d'un certain nombre de fois. Combien de combinaisons de têtes et de queues pouvez-vous obtenir? Vous pouvez découvrir en regardant la ligne dans le triangle de Pascal qui correspond au nombre de fois que vous lancez la pièce et en ajoutant tous les numéros dans cette rangée. Par exemple, si vous lancez la pièce 3 fois, il y a 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibilités. La probabilité d'obtenir le même résultat trois fois de suite est donc 1/8. 
 
 De même, vous pouvez utiliser le triangle de Pascal pour trouver combien de façons vous pouvez combiner des objets ou des choix d'un ensemble donné. Supposons que vous avez 5 balles, et vous voulez savoir de combien de façons vous pouvez en choisir deux. Allez juste à la cinquième ligne et regardez la deuxième entrée pour trouver la réponse, qui est 5. 
 
 Patterns intéressants 
 
 Le triangle de Pascal contient un certain nombre de modèles intéressants. Voici certains d'entre eux: 
 
 
 La somme des nombres dans chaque rangée est le double de la somme des nombres dans la rangée ci-dessus. 
 
 
 
 En lisant de chaque côté, la première rangée est tout en un, la deuxième rangée est le nombre de comptage, la troisième est les nombres triangulaires, la quatrième les nombres tétraédriques et ainsi de suite. 
 
 
 
 Chaque ligne forme l'exposant correspondant à 11 après avoir effectué une simple modification. 
 
 
 
 Vous pouvez dériver la série Fibonacci à partir du modèle triangulaire. 
 
 
 
 Colorer tous les nombres impairs et les nombres pairs de couleurs différentes produit un motif visuel connu sous le nom de triangle de Sierpinski.