En mathématiques, une réciproque d'un nombre est le nombre qui, multiplié par le nombre d'origine, produit 1. Par exemple, l'inverse pour la variable x est 1 /x, parce que x • 1 /x = x /x = 1. Dans cet exemple, 1 /x est l'identité réciproque de x, et vice versa. En trigonométrie, l'un ou l'autre des angles non-90 degrés dans un triangle rectangle peut être défini par des rapports appelés le sinus, le cosinus et la tangente. En appliquant le concept d'identités réciproques, les mathématiciens définissent trois autres ratios. Leurs noms sont cosécants, sécants et cotangents. Cosecant est l'identité réciproque du sinus, sécante celle du cosinus et cotangente celle de la tangente.
Comment déterminer les identités réciproques
Considérons un angle θ, qui est l'un des deux non-90- angles de degré dans un triangle rectangle. Si la longueur du côté du triangle opposé à l'angle est "b", la longueur du côté adjacent à l'angle et opposée aux hypoténuses est "a" et la longueur de l'hypoténuse est "r", nous pouvons définir les trois Ratios trigonométriques primaires en termes de ces longueurs.
L'identité réciproque de sin θ doit être égale à 1 /sin θ, puisque c'est le nombre qui, multiplié par sin θ, produit 1. La même chose est vraie pour cos θ et tan θ. Les mathématiciens donnent à ces réciproques les noms respectivement cosécant, sécant et cotangent. Par définition:
Vous pouvez définir ces identités réciproques en termes de longueurs des côtés du triangle rectangle comme suit:
< li> csc θ = r /b
Les relations suivantes sont vraies pour tout angle θ:
Deux autres identités trigonométriques
Si vous connaissez le sinus et le cosinus d'un angle, vous pouvez dériver la tangente. Ceci est vrai parce que sin θ = b /r et cos θ = a /r, donc sin θ /cos θ = (b /r • r /a) = b /a. Puisque c'est la définition de tan θ, l'identité suivante, connue sous le nom d'identité de quotient, suit:
L'identité pythagoricienne découle du fait que, pour tout triangle rectangle avec les côtés a et b et l'hypoténuse r, ce qui suit est vrai: a 2 + b 2 = r 2. En réorganisant les termes et en définissant les rapports en termes de sinus et de cosinus, vous arrivez à l'expression suivante: sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Deux autres relations importantes à suivre lorsque vous insérez des identités réciproques pour sinus et cosinus dans l'expression ci-dessus:
