La plupart des gens se souviennent du théorème de Pythagore de la géométrie des débutants - c'est un classique. C'est un ^{2 b 2 2 2 un un b <2>
et c
sont les côtés d'un triangle rectangle ( c
est l'hypoténuse). Eh bien, ce théorème peut aussi être réécrit pour la trigonométrie!}

TL; DR (Trop long; N'a pas lu)

TL; DR (Trop long; Pas lu)

Les identités pythagoriciennes sont des équations qui écrivent le théorème de Pythagore en termes de fonctions trig.

Les principales identités pythagoriciennes sont:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) = sec 2 ( θ
)}

1 + berceau ^{2 ( θ
) = csc 2 ( θ
)}

Le pythagoricien les identités sont des exemples d'identités trigonométriques: égalités (équations) qui utilisent des fonctions trigonométriques.

Pourquoi est-ce important?

Les identités pythagoriciennes peuvent être très utiles pour simplifier des trigonomes complexes et des équations. Mémorisez-les maintenant, et vous pouvez vous épargner beaucoup de temps sur la route!

Preuve en utilisant les définitions des fonctions trig

Ces identités sont assez simples à prouver si vous pensez aux définitions des fonctions trig. Par exemple, montrons que sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1.}

Rappelez-vous que la définition de sinus est côté opposé /hypoténuse, et que le cosinus est adjacent côté /hypoténuse.

Donc sin ^{2 = opposé 2 /hypoténuse 2}

Et cos ^{2 = adjacent 2 /hypoténuse 2}

Vous pouvez facilement ajouter ces deux ensemble parce que les dénominateurs sont les mêmes.

sin ^{2 + cos 2 = (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2}

Maintenant jetez un coup d'œil au théorème de Pythagore. Il dit que a ^{2 2 = c 2. Gardez à l'esprit que un
et b
représentent les côtés opposés et adjacents, et c
représente l'hypoténuse.}

Vous pouvez réorganiser le équation en divisant les deux côtés par c
^2:

a ^{2 2 = c
2}

( a
^{2 + b> 2) / c < 2 = 1}

Puisque a
^{2 et b et 2 sont les côtés opposés et adjacents et c < 2 est l'hypoténuse, vous avez une déclaration équivalente à celle ci-dessus, avec (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2. Et grâce au travail avec un
, b
, c
et le théorème de Pythagore, vous pouvez maintenant voir que cette instruction est égale à 1!}

Donc (opposé ^{2+ adjacent 2) /hypoténuse 2 = 1,}

et donc: sin ^{2 + cos 2 = 1.}

(Et il vaut mieux l'écrire correctement: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1).}

Les identités réciproques

Passons quelques minutes à regarder les identités réciproques. Rappelez-vous que la réciproque est divisée par ("over") votre nombre - aussi connu comme l'inverse.

Puisque cosecant est l'inverse de sine, csc ( θ
) = 1 /sin ( θ
).

Vous pouvez aussi penser à cosecant en utilisant la définition de sinus. Par exemple, sinus = côté opposé /hypoténuse. L'inverse de cela sera la fraction retournée, qui est hypoténuse /côté opposé.

De même, la réciproque du cosinus est sécante, donc elle est définie par sec ( θ
) = 1 /cos ( θ
), ou hypoténuse /côté adjacent.

Et la réciproque de tangente est cotangente, donc cot ( θ
) = 1 /tan ( θ
), ou cot = côté adjacent /côté opposé.

Les preuves pour les identités pythagoriciennes utilisant la sécante et la cosécante sont très similaires à celles du sinus et du cosinus. Vous pouvez aussi dériver les équations en utilisant l'équation "parent", sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1. Diviser les deux côtés par cos 2 ( θ
) pour obtenir l'identité 1 + tan 2 ( θ
) = sec 2 ( θ
). Divisez les deux côtés par sin 2 ( θ
) pour obtenir l'identité 1 + cot 2 ( θ
) = csc 2 ( θ
).}

Bonne chance et n'oubliez pas de mémoriser les trois identités pythagoriciennes!