Tout comme en algèbre, lorsque vous commencez à apprendre la trigonométrie, vous accumulez des ensembles de formules utiles à la résolution de problèmes. Un tel ensemble est les identités en demi-angle, que vous pouvez utiliser à deux fins. L'une consiste à convertir les fonctions trigonométriques de (θ /2) en fonctions en fonction de la plus familière (et plus facile à manipuler) θ. L'autre est de trouver la valeur réelle des fonctions trigonométriques de θ, quand θ peut être exprimé comme la moitié d'un angle plus familier.
Revoir les identités de demi-angle
De nombreux manuels de maths listeront quatre identités primaires de demi-angle. Mais en appliquant un mélange d'algèbre et de trigonométrie, ces équations peuvent être massées en un certain nombre de formes utiles. Vous n'avez pas nécessairement à mémoriser tout cela (à moins que votre professeur insiste), mais vous devez au moins comprendre comment les utiliser:
Identité à demi-angle pour Sine
< li> sin (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]
Identité demi-angle pour le cosinus
Identités de demi-angle pour la tangente
Identités demi-angulaires pour Cotangent
Exemple d'utilisation d'identités demi-angle
Comment utiliser les identités demi-angle? La première étape consiste à reconnaître que vous avez affaire à un angle qui est la moitié d'un angle plus familier.
Trouvez
imaginez que l'on vous demande de trouver le sinus de l'angle de 15 degrés . Ce n'est pas l'un des angles que la plupart des élèves vont mémoriser les valeurs des fonctions trigonométriques. Mais si vous laissez 15 degrés être égal à θ /2 et ensuite résoudre pour θ, vous trouverez que:
θ /2 = 15
θ = 30
Parce que le résultat θ, 30 degrés, est un angle plus familier, l'utilisation de la formule du demi-angle ici sera utile.
Choisissez une formule demi-angle
Parce que vous avez été invité à trouver le sinus, il n'y a vraiment qu'une formule de demi-angle à choisir:
sin (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]
Substitution dans θ /2 = 15 degrés et θ = 30 degrés vous donne:
sin (15) = ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Si on vous avait demandé de trouver la tangente ou la cotangente, qui à la fois multiplient les façons d'exprimer leur identité en demi-angle, il vous suffit de choisir la version qui semble la plus facile à travailler.
Résolvez le signe <-> Le signe ± au début de certaines identités en demi-angle signifie que la racine en question pourrait être positive ou négative. Vous pouvez résoudre cette ambiguïté en utilisant votre connaissance des fonctions trigonométriques dans les quadrants. Voici un récapitulatif rapide des fonctions trig qui renvoient des valeurs positives dans lesquelles quadrants: Parce que dans ce cas ton angle θ représente 30 degrés, ce qui tombe Dans le Quadrant I, vous savez que la valeur sinusoïdale renvoyée sera positive. Vous pouvez donc supprimer le signe ± et simplement évaluer: sin (15) = √ [(1 - cos (30)) /2] Remplacer les valeurs familières Substituez la valeur connue et connue de cos (30). Dans ce cas, utilisez les valeurs exactes (par opposition aux approximations décimales d'un graphique): sin (15) = √ [(1 - √3 /2) /2] Simplifier Votre équation Ensuite, simplifiez le côté droit de votre équation pour trouver une valeur pour le péché (15). Commencez par multiplier l'expression sous le radical par 2/2, ce qui vous donne: sin (15) = √ [2 (1 - √3 /2) /4] Ceci simplifie à: sin (15) = √ [(2 - √3) /4] Vous pouvez alors factoriser la racine carrée de 4: sin (15 ) = (1/2) √ (2 - √3) Dans la plupart des cas, c'est à peu près aussi simple que cela. Bien que le résultat ne soit pas forcément joli, vous avez traduit le sinus d'un angle inconnu en une quantité exacte.
