Alors que les mots anglais "sequence" et "series" ont des significations similaires, en mathématiques, ils sont des concepts complètement différents. Une séquence est une liste de nombres placés dans un ordre défini tandis qu'une série est la somme d'une telle liste de nombres. Il existe plusieurs types de séquences, y compris celles basées sur des listes de nombres infinies. Les différentes séquences et les séries correspondantes ont des propriétés différentes et peuvent donner des résultats surprenants.

TL; DR (Trop long; Pas lu)

Les séquences sont des listes de nombres placés dans un ordre défini selon aux règles données. La série correspondant à une séquence est la somme des nombres de cette séquence. Les séries peuvent être arithmétiques, ce qui signifie qu'il existe une différence fixe entre les nombres de la série, ou géométriques, ce qui signifie qu'il y a un facteur fixe. Les séries infinies n'ont pas de nombre final mais peuvent avoir une somme fixe dans certaines conditions.

Types de séquences et séries

Les séquences communes sont arithmétiques ou géométriques. Dans une séquence arithmétique, chaque nombre ou terme de la séquence diffère du précédent par la même quantité. Par exemple, si une différence de séquence arithmétique est 2, une séquence arithmétique correspondante peut être 1, 3, 5 .... Si la différence est -3, une séquence peut être 4, 1, -2 .... La séquence arithmétique est défini par le nombre de départ et la différence.

Pour les séquences géométriques, les termes diffèrent d'un facteur. Par exemple, une séquence avec un facteur 2 peut être 2, 4, 8 ... et une séquence avec un facteur de 0,75 peut être 32, 24, 18 .... La séquence géométrique est définie par le numéro de départ et le factor.

Les types de séries dépendent de la séquence qui est ajoutée. Une série arithmétique ajoute les termes d'une séquence arithmétique et une série géométrique ajoute une séquence géométrique.

Séquences finies et infinies et séries

Les séquences et les séries correspondantes peuvent être basées sur un nombre fixe. de termes ou un nombre infini. Une séquence finie a un nombre de départ, une différence ou un facteur, et un nombre total fixe de termes. Par exemple, la première séquence arithmétique ci-dessus avec huit termes serait 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. La première séquence géométrique ci-dessus avec six termes serait 2, 4, 8, 16, 32, 64 La série arithmétique correspondante aurait une valeur de 64 et la série géométrique 126. Les séquences infinies n'ont pas un nombre fixe de termes, et leurs termes peuvent croître jusqu'à l'infini, décroître jusqu'à zéro ou s'approcher d'une valeur fixe. Les séries correspondantes peuvent aussi avoir un résultat infini, nul ou fixe.

Série convergente et divergente

Les séries infinies sont divergentes si la somme se rapproche de l'infini au fur et à mesure que le nombre de termes augmente. Une série infinie est convergente si sa somme se rapproche d'une valeur non infinie, telle que zéro ou un autre nombre fixe. Les séries sont convergentes si les termes de la séquence sous-jacente s'approchent rapidement de zéro.

La série ajoutant les termes de la suite infinie 1, 2, 4 ... est divergente car les termes de la séquence ne cessent de croître, permettant somme pour atteindre une valeur infinie que le nombre de termes augmente. La série 1, 0.5, 0.25 ... est convergente parce que les termes deviennent rapidement très petits.

Alors que les séquences sont ordonnées, les listes de nombres et les séries sont des sommes, les deux peuvent être des outils importants pour évaluer des ensembles de nombres les propriétés de convergence ou de divergence peuvent avoir des implications réelles. Une série divergente représente souvent une condition instable alors qu'une série convergente signifie souvent qu'un processus ou une structure sera stable.