Les fonctions mathématiques sont des outils puissants pour les affaires, l'ingénierie et les sciences car elles peuvent agir comme des modèles miniatures de phénomènes du monde réel. Pour comprendre les fonctions et les relations, vous devez creuser un peu dans des concepts tels que les ensembles, les paires ordonnées et les relations. Une fonction est un type particulier de relation qui n'a qu'une valeur y pour une valeur x donnée. Il existe d'autres types de relations qui ressemblent à des fonctions mais ne répondent pas à la définition stricte de l'une.

TL; DR (Trop long; N'a pas lu)

Une relation est un ensemble de numéros organisés en paires. Une fonction est un type spécial de relation qui n'a qu'une valeur y pour une valeur x donnée.

Ensembles, paires et relations ordonnées

Pour décrire les relations et les fonctions, il est utile de discuter d'abord des ensembles et paires commandées. Brièvement, un ensemble de nombres est une collection d'entre eux, généralement contenue dans des accolades, telles que {15,1, 2/3} ou {0, .22}. En règle générale, vous définissez un ensemble avec une règle, comme tous les nombres pairs compris entre 2 et 10 inclus: {2,4,6,8,10}.

Un ensemble peut contenir un nombre quelconque d'éléments, ou aucun du tout, c'est-à-dire l'ensemble nul {}. Une paire ordonnée est un groupe de deux nombres entre parenthèses, tels que (0,1) et (45, -2). Pour plus de commodité, vous pouvez appeler la première valeur dans une paire ordonnée la valeur x et la seconde la valeur y. Une relation organise les paires ordonnées dans un ensemble. Par exemple, l'ensemble {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} est une relation. Vous pouvez tracer les valeurs x et y d'une relation sur un graphe en utilisant les axes x et y.

Relations et fonctions

Une fonction est une relation dans laquelle une valeur x donnée n'en a qu'une valeur y correspondante. Vous pourriez penser qu'avec des paires ordonnées, chaque x a seulement une valeur y de toute façon. Cependant, dans l'exemple d'une relation donnée ci-dessus, notez que les valeurs x 1 et 2 ont chacune deux valeurs y correspondantes, 0 et 5, et 10 et 15, respectivement. Cette relation n'est pas une fonction. La règle donne à la relation de fonction une définitivité qui n'existe pas autrement, en termes de valeurs x. Vous pourriez demander, quand x vaut 1, quelle est la valeur de y? Pour la relation ci-dessus, la question n'a pas de réponse définitive; Cela peut être 0, 5 ou les deux.

Maintenant, examinez un exemple d'une relation qui est une vraie fonction: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. Les valeurs x ne sont répétées nulle part. Pour un autre exemple, regardez {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Certaines valeurs y sont répétées, mais cela ne viole pas la règle. Vous pouvez toujours dire que lorsque la valeur de x est 0, y est définitivement 5.

Fonctions graphiques: Test de ligne verticale

Vous pouvez dire si une relation est une fonction en traçant les nombres sur un graphique et l'application du test de ligne verticale. Si aucune ligne verticale passant par le graphe ne l'intersecte sur plus d'un point, la relation est une fonction.

Fonctions comme équations

L'écriture d'un ensemble de paires ordonnées en tant que fonction exemple facile, mais devient rapidement fastidieux lorsque vous avez plus de quelques chiffres. Pour résoudre ce problème, les mathématiciens écrivent des fonctions en termes d'équations, telles que y = x ^ 2 - 2x + 3. En utilisant cette équation compacte, vous pouvez générer autant de paires ordonnées que vous le souhaitez: Branchez différentes valeurs pour x, faites le maths, et devinez vos valeurs y.

Utilisations du monde réel des fonctions

De nombreuses fonctions servent de modèles mathématiques, permettant aux gens de saisir les détails de phénomènes qui resteraient sinon mystérieux. Pour prendre un exemple simple, l'équation de distance pour un objet qui tombe est d = .5 x g x t ^ 2, où t est le temps en secondes, et g est l'accélération due à la gravité. Branchez 9,8 pour la gravité terrestre en mètres par seconde au carré, et vous pouvez trouver la distance d'un objet tombé à n'importe quelle valeur de temps. Notez que, pour toute leur utilité, les modèles ont des limites. L'équation d'exemple fonctionne bien pour laisser tomber une bille d'acier mais pas une plume parce que l'air ralentit la plume.