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    Quelles sont les identités pythagoriciennes?

    La plupart des gens se souviennent du théorème de Pythagore de la géométrie des débutants - c'est un classique. C'est un 2 b 2 2 2 un un b <2>
    et c
    sont les côtés d'un triangle rectangle ( c
    est l'hypoténuse). Eh bien, ce théorème peut aussi être réécrit pour la trigonométrie!

    TL; DR (Trop long; N'a pas lu)

    TL; DR (Trop long; Pas lu)

    Les identités pythagoriciennes sont des équations qui écrivent le théorème de Pythagore en termes de fonctions trig.

    Les principales identités pythagoriciennes sont:

    sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) = 1

    1 + tan 2 ( θ
    ) = sec 2 ( θ
    )

    1 + berceau 2 ( θ
    ) = csc 2 ( θ
    )

    Le pythagoricien les identités sont des exemples d'identités trigonométriques: égalités (équations) qui utilisent des fonctions trigonométriques.

    Pourquoi est-ce important?

    Les identités pythagoriciennes peuvent être très utiles pour simplifier des trigonomes complexes et des équations. Mémorisez-les maintenant, et vous pouvez vous épargner beaucoup de temps sur la route!

    Preuve en utilisant les définitions des fonctions trig

    Ces identités sont assez simples à prouver si vous pensez aux définitions des fonctions trig. Par exemple, montrons que sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) = 1.

    Rappelez-vous que la définition de sinus est côté opposé /hypoténuse, et que le cosinus est adjacent côté /hypoténuse.

    Donc sin 2 = opposé 2 /hypoténuse 2

    Et cos 2 = adjacent 2 /hypoténuse 2

    Vous pouvez facilement ajouter ces deux ensemble parce que les dénominateurs sont les mêmes.

    sin 2 + cos 2 = (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2

    Maintenant jetez un coup d'œil au théorème de Pythagore. Il dit que a 2 2 = c 2. Gardez à l'esprit que un
    et b
    représentent les côtés opposés et adjacents, et c
    représente l'hypoténuse.

    Vous pouvez réorganiser le équation en divisant les deux côtés par c
    2:

    a 2 2 = c
    2

    ( a
    2 + b> 2) / c < 2 = 1

    Puisque a
    2 et b et 2 sont les côtés opposés et adjacents et c < 2 est l'hypoténuse, vous avez une déclaration équivalente à celle ci-dessus, avec (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2. Et grâce au travail avec un
    , b
    , c
    et le théorème de Pythagore, vous pouvez maintenant voir que cette instruction est égale à 1!

    Donc (opposé 2+ adjacent 2) /hypoténuse 2 = 1,

    et donc: sin 2 + cos 2 = 1.

    (Et il vaut mieux l'écrire correctement: sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) = 1).

    Les identités réciproques

    Passons quelques minutes à regarder les identités réciproques. Rappelez-vous que la réciproque est divisée par ("over") votre nombre - aussi connu comme l'inverse.

    Puisque cosecant est l'inverse de sine, csc ( θ
    ) = 1 /sin ( θ
    ).

    Vous pouvez aussi penser à cosecant en utilisant la définition de sinus. Par exemple, sinus = côté opposé /hypoténuse. L'inverse de cela sera la fraction retournée, qui est hypoténuse /côté opposé.

    De même, la réciproque du cosinus est sécante, donc elle est définie par sec ( θ
    ) = 1 /cos ( θ
    ), ou hypoténuse /côté adjacent.

    Et la réciproque de tangente est cotangente, donc cot ( θ
    ) = 1 /tan ( θ
    ), ou cot = côté adjacent /côté opposé.

    Les preuves pour les identités pythagoriciennes utilisant la sécante et la cosécante sont très similaires à celles du sinus et du cosinus. Vous pouvez aussi dériver les équations en utilisant l'équation "parent", sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) = 1. Diviser les deux côtés par cos 2 ( θ
    ) pour obtenir l'identité 1 + tan 2 ( θ
    ) = sec 2 ( θ
    ). Divisez les deux côtés par sin 2 ( θ
    ) pour obtenir l'identité 1 + cot 2 ( θ
    ) = csc 2 ( θ
    ).

    Bonne chance et n'oubliez pas de mémoriser les trois identités pythagoriciennes!

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