Quand on vous présente une matrice dans un cours de maths ou de physique, on vous demandera souvent de trouver ses valeurs propres. Si vous n'êtes pas sûr de ce que cela signifie ou comment le faire, la tâche est décourageante, et cela implique beaucoup de terminologies déroutantes qui rendent les choses encore plus difficiles. Cependant, le calcul des valeurs propres n'est pas trop compliqué si vous êtes à l'aise avec la résolution d'équations quadratiques (ou polynomiales), à condition d'apprendre les bases des matrices, valeurs propres et vecteurs propres.
Matrices, valeurs propres et vecteurs propres: Ce qu'ils signifient
Les matrices sont des tableaux de nombres où A représente le nom d'une matrice générique, comme ceci:
(
1 3 )
A
= (4 2)
Les nombres dans chaque position varient, et il peut même y avoir des expressions algébriques à leur place. Il s'agit d'une matrice 2 × 2, mais elles sont disponibles dans différentes tailles et n'ont pas toujours le même nombre de lignes et de colonnes.
La gestion des matrices est différente de la gestion des nombres ordinaires. règles pour multiplier, diviser, ajouter et soustraire les uns des autres. Les termes "valeur propre" et "vecteur propre" sont utilisés dans l'algèbre matricielle pour désigner deux grandeurs caractéristiques par rapport à la matrice. Ce problème de valeur propre vous aide à comprendre ce que le terme signifie:
A
= v = λ ∙ v
A est une matrice générale comme précédemment, v est un vecteur, et λ est une valeur caractéristique. Regardez l'équation et notez que lorsque vous multipliez la matrice par le vecteur v, l'effet est de reproduire le même vecteur simplement multiplié par la valeur λ. Ceci est un comportement inhabituel et gagne le vecteur v et la quantité λ noms spéciaux: le vecteur propre et la valeur propre. Ce sont des valeurs caractéristiques de la matrice car multiplier la matrice par le vecteur propre laisse le vecteur inchangé indépendamment de la multiplication par un facteur de la valeur propre.
Comment calculer les valeurs propres
Si vous avez le problème de la valeur propre pour la matrice sous une forme quelconque, trouver la valeur propre est facile (parce que le résultat sera un vecteur identique à l'original sauf multiplié par un facteur constant - la valeur propre). La réponse est trouvée en résolvant l'équation caractéristique de la matrice:
det (A - λ I
) = 0
Où est la matrice d'identité, qui est vide en dehors d'une série de 1s en diagonale dans la matrice. "Det" fait référence au déterminant de la matrice, qui pour une matrice générale:
(ab)
A
= (cd)
Est donné par
det A = ad -bc
Donc l'équation caractéristique signifie:
(a - λ b)
det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Comme exemple de matrice, définissons A comme:
(0 1)
A
= (-2 -3)
Cela signifie donc:
det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × -2) = 0
= -λ (-3 - λ) + 2
= λ < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0
Les solutions pour λ sont les valeurs propres, et vous résolvez ceci comme n'importe quelle équation quadratique. Les solutions sont λ = - 1 et λ = - 2.
TL: DR (Trop long: pas lu)
Dans les cas simples, les valeurs propres sont plus faciles à trouver. Par exemple, si les éléments de la matrice sont tous égaux à zéro à partir d'une ligne de la diagonale en tête (du haut à gauche vers le bas à droite), les éléments diagonaux deviennent les valeurs propres. Cependant, la méthode ci-dessus fonctionne toujours.
Trouver des vecteurs propres
Trouver les vecteurs propres est un processus similaire. En utilisant l'équation:
(A - λ) ∙ v = 0
avec chacune des valeurs propres que vous avez trouvées à tour de rôle. Cela signifie:
(a - λ b) (v 1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0) (A - λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v 2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0) Vous pouvez résoudre ce problème en en considérant chaque rangée à tour de rôle. Vous avez seulement besoin du rapport de v 1 à v 2, car il y aura une infinité de solutions potentielles pour v 1 et v
2.
