Une distribution binomiale décrit une variable X si 1) il y a un nombre fixe n observations de la variable; 2) toutes les observations sont indépendantes les unes des autres; 3) la probabilité de succès p est la même pour chaque observation; et 4) chaque observation représente l'un des deux résultats possibles (d'où le mot "binomial" - "binary"). Cette dernière qualification distingue les distributions binomiales des distributions de Poisson, qui varient continuellement plutôt que discrètement.

Une telle distribution peut être écrite B (n, p).

Calcul de la probabilité d'une observation donnée

Supposons qu'une valeur k se situe quelque part le long du graphe de la distribution binomiale, qui est symétrique par rapport à la moyenne np. Pour calculer la probabilité qu'une observation aura cette valeur, cette équation doit être résolue:

P (X = k) = (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

où (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!

Le "!" signifie une fonction factorielle, par exemple, 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.

Exemple

Supposons qu'un joueur de basketball effectue 24 lancers francs et que son taux de réussite soit de 75% (p = 0,75). Quelles sont les chances qu'elle atteigne exactement 20 de ses 24 tirs?

Calculez d'abord (n: k) comme suit:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626

p ^{k = (0,75) 20 = 0,00317}

(1-p) ^{(nk) = (0.25) 4 = 0.00390}

Donc P (20) = (10.626) (0.00317) (0.00390) = 0.1314.

Ce joueur a donc 13.1% de chances de faire exactement 20 lancers francs sur 24, en ligne avec ce que l'intuition pourrait suggérer à propos d'un joueur qui atteindrait normalement 18 lancers francs sur 24 (en raison de son taux de réussite de 75%).